Erikülgse kolmnurga lahendamine -

Ülesanne.
Lahendage sirgetega $5x-8y+15=0$ , $4x-y-15=0$ ja $x+2y+3=0$ määratud kolmnurk.

Lahenduskäigud.

Kolmnurga lahendamine tähendab kolmnurga kõikide külgede pikkuste ja kõikide nurkade suuruste leidmist.

Arvutame kolmnurga tippude koordinaadid. Selleks leiame sirgete lõikepunktid. Lahendame järgmised võrrandisüsteemid.

\begin{cases} 5x – 8y + 15 = 0 \\ 4x – y – 15 = 0 \end{cases}

\begin{cases} 5x – 8y + 15 = 0 \\ x + 2y + 3 = 0 \end{cases}

\begin{cases} 4x – y – 15 = 0 \\ x + 2y + 3 = 0 \end{cases}

I võrrandisüsteemi lahend on $\begin{cases} x= 5 \\ y = 5 \end{cases}$ ehk K(5;5)

II võrrandisüsteemi lahend on $\begin{cases} x= -3 \\ y= 0 \end{cases}$ ehk L(-3;0)

III võrrandisüsteemi lahen on $\begin{cases} x= 3 \\ y= -3 \end{cases}$ ehk M(3;-3)

Lahenduskäik I

Arvutame vektorite $\vec{KL}$ ja $\vec{KM}$ koordinaadid, pikkused ning antud vektorite vahelise nurga $\angle{K}$ :

\vec{KL} = (-3 – 5; 0 – 5) = (-8;-5)

\vec{KM} = (3 – 5; -3 – 5) = (-2; -8)

|\vec{KL}| = \sqrt{(-8)^2 + (-5)^2} = \sqrt{89}

|\vec{KM}| = \sqrt{(-2)^2 + (-8)^2} =\sqrt{68} = 2\sqrt{17}

Skalaarkorrutise arvutamise valemi põhjal

cos\angle{K} = \frac{\vec{KL} \cdot \vec{KM}}{|\vec{KL}| \cdot |\vec{KM}|} \ ,

millest

cos\angle{K} = \frac{(-8) \cdot (-5) + (-2) \cdot (-8)}{\sqrt{89} \cdot 2\sqrt{17}} = \frac{56}{2\sqrt{1513}} \ ,

Seega

\angle{K} \approx 43\degree 57′ \ .

Arvutame vektorite $\vec{LK}$ ja $\vec{LM}$ koordinaadid, pikkused ning antud vektorite vahelise nurga $\angle{L}$ :

\vec{LK} = -\vec{KL} = (8;5)

\vec{LM} = (3 – (-3); -3 – 0) = (6;-3)

|\vec{LK}| = |\vec{KL}| = \sqrt{89}

|\vec{LM}| = \sqrt{6^2 + (-3)^2} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}

Skalaarkorrutise arvutamise valemi põhjal

cos\angle{L} = \frac{\vec{LK} \cdot \vec{LM}}{|\vec{LK}| \cdot |\vec{LM}|} \ ,

millest

cos\angle{L} = \frac{8 \cdot 6 + 5 \cdot (-3)}{\sqrt{89} \cdot 3\sqrt{5}} = \frac{33}{3\sqrt{445}} = \frac{11}{\sqrt{445}} = \frac{11\sqrt{445}}{445} \ .

Seega

\angle{L} \approx 58\degree 34′ \ .

Arvutame vektorite $\vec{ML}$ ja $\vec{MK}$ koordinaadid, pikkused ning antud vektorite vahelise nurga $\angle{K}$ :

\vec{ML} = (-3 – 3; 0 – (-3)) = (-6;3)

\vec{MK} = -\vec{KM} = (2;8)

|\vec{ML}| = |\vec{LM}| = 3\sqrt{5}

|\vec{MK}| = |\vec{KM}| = 2\sqrt{17}

Skalaarkorrutise arvutamise valemi põhjal

cos\angle{M} = \frac{\vec{ML} \cdot \vec{MK}}{|\vec{ML}| \cdot |\vec{MK}|} \ ,

millest

cos\angle{M} = \frac{(-6) \cdot 2 + 3 \cdot 8}{3 \sqrt{5} \cdot 2 \sqrt{17}} = \frac{12}{6 \sqrt{85}} = \frac{2 \sqrt{85}}{85} \ .

Seega

\angle{M} \approx 77\degree 28′

Vastus. Kolmnurga külgede pikkused on $\sqrt{89}, 2\sqrt{17}$ ja $3 \sqrt{5}$ ning nurkade suurused on $43\degree57′ , 58\degree 34′$ ja $77\degree28′$ .

Lahenduskäik II

Arvutame kolmnurga külgede pikkused ehk punktide K ja L, K ja M ning L ja M vahelised kaugused.

|KL| = \sqrt{(-3 – 5)^2 + (0 – 5)^2} = \sqrt{89}

|KM| = \sqrt{(3 – 5)^2 + (-3-5)^2} = \sqrt{68} = 2\sqrt{17}

|LM| = \sqrt{(3 – (-3)^2 + (-3-5)^2} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}

Arvutame $\angle{K}$ suuruse.

Koosinusteoreemi põhjal

|LM|^2 = |KL|^2 + |KM|^2 – 2 \cdot |KL| \cdot |KM| \cdot cos\angle{K} \ ,

millest

cos\angle{K} = \frac{|KL|^2 + |KM|^2 – |LM|^2}{2 \cdot |KL| \cdot |KM|} \ .

Seega

cos\angle{K} = \frac{(\sqrt{89})^2 + (2\sqrt{17})^2 – (3\sqrt{5})^2}{2 \cdot \sqrt{89} \cdot 2\sqrt{17}} = \frac{112}{4\sqrt{1513}} = \frac{28\sqrt{1513}}{1513}

\angle{K} \approx 43\degree57′ \ .

Arvutame $\angle{L}$ suurse.

Siinusteoreemi põhjal

\frac{|KM|}{sin\angle{L}} = \frac{|LM|}{sin\angle{K}} \ ,

millest

sin\angle{L} = \frac{|KM| \cdot sin \angle{K}}{|LM|}

Seega

sin\angle{L} = \frac{2\sqrt{17} \cdot sin 43\degree 57′}{\sqrt{45}}

\angle{L} \approx 58\degree33′ \ .

Arvutame $\angle{M}$ suuruse:

\angle{M} = 180\degree – 43\degree 57′ – 58\degree 33′ = 77\degree 30′

Vastus. Kolmnurga külgede pikkused on $\sqrt{89}, 2\sqrt{17}$ ja $3 \sqrt{5}$ ning nurkade suurused on $43\degree57′ , 58\degree 33′$ ja $77\degree30′$ .

Paneme tähele, et erinevate lahenduskäikude korral saime erinevad nurkade suurused. Mõlemad lahenduskäigud on õiged. Esimese lahenduskäigu korral kasutasime täpseid väärtuseid. Teise lahenduskäigu korral kasutasime ligikaudseid väärtuseid, millest erinevused tulevadki.